সঠিক উত্তর হল d) 0।

ব্যাখ্যা:

(1 + x^2)/(1 - x^2) এর n+1 তম বিস্তারে x^2 এর সহগ n দ্বারা নির্ধারিত হয়।

প্রমাণ:

বিন্যাসটি (1 + x^2)/(1 - x^2) কে n+1 বার গুণ করে আমরা (1 + x^2)^n পাচ্ছি।

ধরুন, (1 + x^2)^n এর বিস্তারিত রূপ হল:

(1 + x^2)^n = \(a^{0}\) + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ... + anxn

এখানে, ai গুলি হল সহগ।

(1 + x^2)^n এর উভয় পক্ষকে 1 - x^2 দিয়ে গুণ করলে পাই:

(1 + x^2)^(n+1) = (1 - x^2) (\(a^{0}\) + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ... + anxn)

বাম পাশটা (1 + x^2)^n (1 - x^2) দিয়ে সম্প্রসারিত করলে পাই:

(1 + x^4 + 2x^2) + (n+1)x^2 (1 + x^2) + ... + anx^(2n+1)

এই সমীকরণের উভয় পক্ষের x^2n+1 এর সহগ গুলো তুলনা করলে পাই:

an+1 = (n+1)\(a^{0}\)

এই সমীকরণ থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি, n+1 তম বিস্তারে x^2 এর সহগ n দ্বারা নির্ধারিত হয়।

(1 + x^2)/(1 - x^2) এর ক্ষেত্রে:

এখানে, n = 1।

সুতরাং, 1 + 1 তম বিস্তারে x^2 এর সহগ হবে 1 + 1 = 2।

কিন্তু,

(1 + x^2)/(1 - x^2) তে x^2 এর ঘাত সবসময় জোড় হয়।

অর্থাৎ, x^2n+1 এর ঘাত সবসময় বিজোড় হয়।

দ্বিপদী তত্ত্ব অনুযায়ী, একটি দ্বিপদী বিস্তারে বিজোড় ঘাতের x এর সহগ সবসময় 0 হয়।

সুতরাং, 1 + x^2)/(1 - x^2) এর বিস্তারে x^2n+1 এর সহগ 0 হবে।

অতএব, সঠিক উত্তর হল d) 0।

উল্লেখ্য:

• উপরে বর্ণিত প্রমাণটি (1 + x^2)/(1 - x^2) এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।
• অন্যান্য বহুপদীর ক্ষেত্রে, x^2n+1 এর সহগ নির্ণয়ের জন্য ভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করতে হতে পারে।

আশা করি এই ব্যাখ্যাটি সহায়ক ছিল।